Princip metody "interceptu" - stanovení zeměpisné polohy pomocí pozičních linií
Obr. 1.: Substelární body [A], [B], a poziční kružnice a, b, na povrchu Země. Poziční kružnice mají v obecném případě dva průsečíky, 1 a 2. Poloměry pozičních kružnic (měřené po povrchu Země) jsou a a b. Z obou bodů 1 a 2 uvidíme hvězdy A a B ve výškách (90° - a) a (90° - b) nad obzorem.
Než se dostaneme k samotné metodě interceptu, vysvětlíme si základní principy astronavigace obecně. Mějme hvězdu A (viz Obr. 1). Na povrchu Země existuje místo (v každém okamžiku jiné, díky rotaci Země), ze kterého uvidíme tuto hvězdu přímo v nadhlavníku (zenitu). Poloha tohoto místa, tzv. substelárního bodu, [A], se dá pro libovolný okamžik pochopitelně spočítat. Pokud bychom viděli hvězdu A přímo v zenitu (výška nad obzorem = 90°), mohli bychom pomocí takového výpočtu ihned stanovit naši polohu. Pozorovat v praxi nějakou hvězdu přímo v zenitu se nám ale podaří málokdy, nemluvě o obtížnosti takového pozorování.
V obecném případě tedy vidíme hvězdu v nějaké výšce h nad obzorem. Její vzdálenost od zenitu je doplněk do 90°, tedy 90° - h, a tento úhel pro hvězdu A označíme a. Všechna místa na povrchu Země (pro jednoduchost považujme Zemi za kouli), z nichž spatříme hvězdu A ve vzdálenosti a od zenitu (neboli ve výšce 90° - a nad obzorem), leží na kružnici (na obrázku kružnice a), jejíž úhlová vzdálenost od substelárního bodu [A] je a. Již po prvním měření výšky hvězdy tedy víme, že se nacházíme někde na kružnici a. Označujeme ji jako poziční kružnici.
Další postup se přímo sám nabízí: provedeme měření pro jinou hvězdu (B) a zjistíme, že se nachází ve výšce 90° - b nad obzorem. Ze spočteného substelárního bodu [B] a úhlu b získáme novou kružnici, b. Protože naše poloha je zároveň na kružnici a i b, pak nemůže být jinde, než na průsečíku obou kružnic. V obecném případě jsou tyto průsečíky dva, ale víme-li alespoň přibližně, kde bychom se měli nacházet, můžeme určit, který ze dvou průsečíků je ten správný.
Tolik k teoretickým principům. V praxi ovšem vstupují do hry dvě komplikace:
- Neexistují mapové projekce, které by zachovávaly délky (tj. pro něž by platilo, že délka změřená na mapě je pouze měřítkem vynásobená délka na povrchu koule), každá mapa má proto v různých směrech různé zkreslení délek, a kružnice na kouli se na mapě zobrazí jako složitější křivka. Nemůžeme tedy vzít kružítko, a narýsovat na mapě poziční kružnici.
- Poziční kružnice můžeme narýsovat na zemském globu, ale jeho měřítko je obvykle tak malé, že souřadnice jejich průsečíku získáme jen s malou přesností.
Polohu průsečíků pozičních kružnic lze spočítat pomocí vzorců sférické trigonometrie, aniž bychom museli něco kreslit. Dnes v době počítačů je to celkem rutinní záležitost, ale už i za pomoci pouhé kalkulačky se nad takovým výpočtem celkem zapotíme. Před nástupem kalkulaček byl pak takový výpočet s použitím tabulek trigonometrických funkcí enormně zdlouhavý. V historii námořní navigace proto nebyl využíván příliš často, a spíše se používali jiné metody (například stanovení výšky a okamžiku průchodů těles meridiánem), které byly jednoduché na zpracování, ale časově náročnější na měření.
V roce 1837 byla ovšem objevena, a to de-facto pouhou náhodou, metoda tzv. pozičních liní, která znamenala v námořní navigaci revoluci. Je to metoda grafická a pouze přibližná, ale většinou dává dostatečně přesné výsledky. Do mapy při ní kreslíme přímky, a jejich průsečíkem je hledaná poloha. Jednu z variant metody pozičních linií, metodu interceptu, jsme aplikovali i na Expedici.
Celý trik spočívá v tom, že poziční kružnice v okolí jejich průsečíků nahradíme jejich tečnami, které nazýváme pozičními liniemi, a tyto přímky již do mapy zakreslovat můžeme. Protože poloměry pozičních kružnic jsou obvykle obrovské, je jejich zakřivení malé, a jejich nahrazením přímkami se nedopustíme příliš velké chyby.
Obr. 2.: Způsob nalezení poziční linie. Poziční kružnice jsou pro názornost zobrazeny s mnohem menšími poloměry, než jaké mají v drtivé většině případů v praxi.
Základní předpoklad, nutný k nalezení poziční linie, je alespoň velice přibližná znalost naší polohy (stačí zaokrouhlená na celé stupně v zeměpisné šířce a délce). Tato poloha se standardně v navigaci označuje jako AP (assumed position). Pro českou Republiku pro jednoduchost můžeme počítat s pozicí 15° vých. délky a 50° severní šířky. Princip nalezení poziční linie je následující:
Změříme výšku hvězdy (Slunce, ...) Ho nad obzorem v určitém okamžiku. Pro stejný okamžik spočítáme, jak vysoko nad obzorem, a v jakém směru (azimutu AAP) bychom danou hvězdu viděli, kdybychom se nacházeli v bodě AP. Tuto spočítanou výšku označíme Hc. Spočtený azimut nám ukazuje směr, v němž leží substelární bod dané hvězdy (vydáme-li se směrem, v němž vidíme na obloze nějakou hvězdu, bude nám postupně její pozorovaná výška nad obzorem růst, až dospějeme do substelárního bodu, kde uvidíme hvězdu v zenitu).
Daný azimut (v navigaci měříme azimut vždy od severu!) vyneseme do mapy jako přímku procházející bodem AP. Protože, jak už jsme si řekli, prochází tato přímka substelárním bodem, a tento bod je středem poziční kružnice, bude poziční kružnice procházející bodem AP k této přímce v bodě AP kolmá. Poloměr této kružnice je 90° - Hc. Tato poziční kružnice nás ale nezajímá, zajímá nás poziční kružnice (a linie) pro naši hledanou polohu. Poloměr naší poziční kružnice je 90° - Ho. Ani jednu z kružnic do mapy pochopitelně nemůžeme zakreslit, pro již výše zmíněné důvody, a na Obr. 2. jsou znázorněny pouze pro lepší pochopení situace. To co známe, je rozdíl poloměrů obou kružnic, Dh = Ho - Hc., a zároveň víme, že obě kružnice mají stejný střed (substelární bod). Průsečík hledané poziční kružnice s přímkou ve směru spočteného azimutu bude tedy ve vzdálenosti Dh od bodu AP. (Rozdíl výšek Dh se nazývá intercept - odtud název metody.) řekli jsme si, že poziční kružnici můžeme nahradit poziční linií, kterou sestrojíme jako tečnu k této kružnici. Protože přímka ve směru azimutu AAP míří do středu kružnice (substelárního bodu), musí být kolmice k této přímce tečnou dané kružnice. Právě tato kolmice je tedy naší poziční linií (viz Obr. 2).
Naprosto stejnou úvahu a výpočty použijeme i pro druhou hvězdu (nebo Slunce v jinou denní dobu, za předpokladu, že jsme svou polohu nezměnili), a získáme další poziční linii. Při samotném zpracování můžeme již na poziční kružnice zapomenout; kreslíme pouze přímky.
Protože vzdálenost Dh vyjde v obloukové míře a na mapě obvykle měříme vzdálenosti v jednotkách délkových, uveďme zde ještě přepočet: 1° odpovídá vzdálenosti přibližně 111,12 km na zemském povrchu. Jednoduchá, a v navigaci zaužívaná konvence, je počítat obloukovou míru v úhlových minutách, a vzdálenosti v námořních mílích (1 NM = 1852 m). Jedna námořní míle je totiž právě vzdálenost jedné úhlové minuty na poledníku (současná definice je dána pouze vztahem 1 NM = 1852 m, ale takto byla původně námořní míle zavedena).
Zpracování měření lze tedy shrnout do několika bodů:
- Spočteme výšku Hc a azimut AAP měřeného tělesa v bodě AP pro každý z časů měření.
- Pro každé měření spočteme rozdíl změřené výšky Ho, a výšky Hc: Dh = Ho - Hc.
Dh vyjádříme v úhlových minutách, tj. vynásobíme 60ti. - Z bodu AP vedeme pro každé měření přímku (oběma směry, tj. ne pouze polopřímku) ve směru spočteného azimutu AAP. Na vynesenou přímku vyznačíme šipkou směr daného azimutu (aby se nám později nepletlo, který směr přímky je ten správný). Na vynesenou přímku poté sestrojíme kolmici (tj. poziční linii) ve vzdálenosti Dh námořních mil od bodu AP. Je-li Dh kladné, měříme vzdálenost ve směru šipky, je-li záporné, tak proti směru šipky.
- Místo, kde se protnou poziční linie sestrojené pro obě měření, je naše poloha.
Obr. 3.: Vzorné zpracování určení polohy z měření výšek Slunce od Petry Vaňáčové. (To, že se obě poziční linie protínají v bodě, v němž je konstruována jedna z nich jako kolmice na azimutální přímku, je jen náhoda)
Astronavigace na expedici
Na moři se výška těles měří nad pozorovaným horizontem, který, až na drobné opravy, je totožný s ideálním geometrickým horizontem, tj. rovinou kolmou k místní tížnici. Na pevnině takový horizont bohužel nemáme, protože obzor je vždy tvořen vzdálenými kopci. Je tedy třeba vypomoci si tzv. horizontem umělým. Tím je hladina nějaké kapaliny, kterou využijeme jako dokonale vodorovné zrcadlící plochy. To, co pak měříme, není výška tělesa nad horizontem, ale úhlová vzdálenost tělesa na obloze, od jeho odrazu v hladině kapaliny. Naměřený údaj pak vydělíme dvěma a dostaneme výšku.
Obr. 4.: "navigátoři" v akci
Na expedici jsme pro stanovení polohy použili měření výšky Slunce. Optimální je měřit s odstupem šesti hodin, během nichž Slunce urazí asi 90 stupňů. Tento úhel pak svírají vzájemně i poziční linie, a jejich průsečík je dobře definovaný. Každý zájemce si tedy změřil výšku Slunce minimálně dvakrát, jednou obvykle ještě před snídaní, a druhou v průběhu odpoledne.
Výsledky stanovení polohy jsou bohužel trochu nesourodé. Měření se zúčastnilo asi patnáct lidí, tohle číslo si ale nepamatuji přesně; někteří z nich totiž měření nezpracovali ani do přípravy tohoto článku, takže jejich jména se zde neobjeví. (Budiž to pro ně poučením, že měření je třeba zpracovat hned. Na lodi by navigátorovi nebylo nic platné, kdyby měření zpracoval až po několika měsících... :-).
Obr. 5.: Získané polohy vynesené do mapy. černý kroužek uprostřed vyznačuje hvězdárnu v Úpici, tedy polohu, která by měla vyjít v ideálním případě.
Ve zcela ideální situaci by pořadí "navigátorů" podle vzdálenosti získaných poloh vyjadřovalo jejich schopnosti změření výšky Slunce. Bohužel ideální situace zcela jistě nenastala. Zjevné "ústřely" do vzdálenosti nad 50 kilometrů lze nejspíše přičíst chybám ve zpracování naměřených údajů. Další poměrně velkou chybu jsem do měření vnesl, jak za chvíli ukážu, já sám. Vedle toho řada chyb vznikla v důsledku vlnění hladiny umělého horizontu ve větru.
Před každým měřením sextantem je třeba stanovit opravu měřené výšky. Pokud by obě zrcátka sextantu byla vůči sobě přesně rovnoběžná, pak tato oprava bude nulová; v důsledku různé manipulace se sextantem, tepelnému pnutí apod., tato rovnoběžnost ale zaručena není.
Před samotným měřením tedy sledujeme sextantem vzdálený vodorovný předmět (střechu budovy, obzor, ...), a pohybem stupnice umístíme jeho odraz v zrcátku sextantu tak, aby byl v jedné linii se skutečným obrazem. Kdyby byla oprava sextantu nulová, bude stupnice ukazovat nulu, v praxi ale nulu neukazuje, a tento údaj je poté třeba od měření odečíst.
Protože jsme vždy měřili ze střechy hvězdárny, jako vhodný vodorovný objekt pro výše zmíněnou kalibraci jsem vybral střechu vodárny. Až dlouho po expedici jsem odhalil svůj velký omyl. Střecha vodárny je od střechy hvězdárny vzdálená asi 50 metrů, a to je strašně málo! Svislá vzdálenost otočného zrcátka sextantu od jeho průzoru je asi 10 cm, což na vzdálenosti 50ti metrů představuje asi 7 úhlových minut. Těchto 7 úhlových minut ve všech opravách naměřených údajů vystupovalo navíc. Protože výšku Slunce dostaneme až po vydělení údaje na sextantu dvěmi, i chyba ve změřené výšce byla pouze poloviční, tedy 3,5 minuty (všechny změřené výšky vyšly o tuto hodnotu větší, než by měly vyjít). Ale i to je zatraceně mnoho. Na zemském povrchu to představuje skoro 6,5 km. Obě získané poziční linie byly tedy o 6,5 km jinde, než by měli vyjít při správné kalibraci sextantu. V případě kolmosti obou linií pak vzdálenost jejich průsečíku od "správného průsečíku" bude rovna asi 9,2 km (velikost úhlopříčky čtverce o hraně 6,5 km), a s klesajícím úhlem mezi liniemi může tato vzdálenost ještě více vzrůstat (viz Obr. 6.). Tato systematická chyba je pravděpodobně také vysvětlením toho, proč je většina získaných poloh na jih od polohy správné. Při náhodných chybách by změřené polohy měly být i náhodně rozmístěny okolo Úpice.
Obr. 6.: Znázornění toho, jak se posune průsečík pozičních linií, jestliže obě výšky Slunce změříme se systematickou chybou. Pro úhel mezi pozičními liniemi 90° (vlevo) a úhel menší (vpravo).
Na tomto místě budiž tedy má omluva všem letošním "navigátorům", kteří se tak pilně snažili získat co nejpřesnější polohu, leč jejich snaha byla marná. Chybami se člověk učí, a příští rok to již jistě zvládneme lépe. Navigare necesse est.
Vyšlo v Bílém Trpaslíku č. 141
